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¿Los números primos están separados entre sí siguiendo algún tipo de patrón matemático? o ¿la separación entre ellos es aleatoria e impredecible?

Miremos por ejemplo, los primeros 13 números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. A primera vista parecen números cercanos. 2 y 3 están separados por una unidad, 5 y 7, 11 y 13 por 2, pero de ahí en adelante, la separación aumenta, entre 31 y 37 y entre 37 y 43 hay 6 unidades. Esta apenas es la punta del iceberg de los números primos.

La primera sugerencia relevante de Riemann para aprender más sobre los primos usando la función zeta, es que no basta que usemos esa función con valores de x enteros (1, 5, -2, etc.) e incluso decimales (2.4, 3.1415, 15.67, etc.) o reales como dicen los expertos.

Existe otro tipo de números a los que puede aplicarse la función zeta. Estos números, que los matemáticos llaman “complejos”, tienen una representación geométrica muy interesante.

Por cada número complejo, existe un punto en un plano que lo representa. De la misma manera que los números reales tienen una posición única sobre una línea recta, (Recta numérica), los números complejos están sobre un plano.  A cada uno de los puntos de esta página se le puede asignar un número complejo, a cada ubicación en una ciudad, se le podría también asignar un número complejo.  

Como sucede con los números reales, los matemáticos han ideado reglas para hacer operaciones con los números complejos (Suma, multiplicación, potenciación, etc.).

Si bien estas reglas no son fáciles de usar y por eso los números complejos sólo se enseñan en cursos avanzados de matemáticas, sus operaciones son el día a día de varias áreas de las matemáticas y de la física, que van desde el estudio de los circuitos eléctricos hasta la teoría cuántica, con la que se construyen computadores y celulares. Podríamos decir que los números complejos son “números en esteroides”

Si una función es una regla que transforma números reales en otros número reales (es decir, puntos de una recta, en otros puntos de la misma recta), la misma función aplicada a los números complejos, transforma puntos de un plano en otros puntos del mismo plano.

Si tomamos, por ejemplo, todos los puntos de la malla que se muestra en la figura de abajo y le aplicamos una función sencilla como “multiplique el número por sí mismo”, los puntos ubicados sobre la malla azul quedarán ahora sobre las líneas rosa. Las funciones aplicadas a los números complejos son como deformaciones geométricas en el plano.

Las líneas azules representan el lugar de números complejos en un plano, todos los puntos de este plano tienen asociado un número complejo. Si aplicamos la función “elevar al cuadrado” a los puntos que están sobre las líneas azules, el resultado estará ubicado sobre las líneas rosadas.  Decimos que la función actúa en la forma de una deformación en el plano complejo. Adaptado de: http://bit.ly/2OS7yTQ.